Question

【题目】已知函数y＝mx2﹣（2m+1）x+2（m≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．

（1）当m＜0时，函数y＝mx2﹣（2m+1）x+2在x＞1时，y随x的增大而减小；

（2）当m＞0时，函数y＝mx2﹣（2m+1）x+2图象截x轴上的线段长度小于2．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1+，利用二次函数的性质得当m＞1+时，y随x的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；

（2）设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x2，则根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣|，然后m取时可对（2）的结论进行判断．

解：（1）的结论正确．理由如下：

抛物线的对称轴为直线，

∵m＜0，

∴当m＞1+时，y随x的增大而减小，

而1＞1+，

∴当m＜0时，函数y＝mx2﹣（2m+1）x+2在x＞1时，y随x的增大而减小；

（2）的结论错误．理由如下：

设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝，

|x1﹣x2|＝

＝

＝

＝

＝|2﹣|，

而m＞0，

若m取时，|x1﹣x2|＝3，

∴当m＞0时，函数y＝mx2﹣(2m+1)x+2图象截x轴上的线段长度小于2不正确．