Question

【题目】如图，在矩形中，，，为边上一动点，、为边上两个动点，且，则线段的长度最大值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先作出△EFG的外接圆，过点O作OH⊥FG于点H，通过等腰直角三角形的转化可得到当的半径最大时，FG的长度取得最大值，进而可得到当经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，设OH＝HD＝HF＝x，利用Rt△BOE的勾股定理求解即可．

解：如图，作出△EFG的外接圆，过点O作OH⊥FG于点H，

∵∠FEG＝45°，

∴∠FOG＝2∠FEG＝90°，

又∵OG＝OF，OH⊥FG，

∴FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，

∵在Rt△OHG中，∠OGF＝45°，

∴HG＝OG，

∴当的半径最大时，FG的长度取得最大值，

如下图，当经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，

设OH＝HD＝HF＝x，则OD＝OB＝x，

在矩形PCDH中，PC＝DH＝x，PH＝CD＝1，

∴BP＝BC－PC＝－x，OP＝PH－OH＝1－x，

在Rt△BOP中，BP2+OP2＝BO2，

∴，

解得，，

∴FD＝2x＝，

故答案为：．