Question

【题目】实践操作

如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，和相交于点，连接．

解决问题

（1）在图1中，①和的位置关系为__________；②将剪下后展开，得到的图形是_____；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为_________．

Answer 1

【答案】（1）①；②菱形；（2）成立，证明见解析；（3）或

【解析】

（1）①利用AAS定理求证△≌△CDE，从而得到DE=，CE=AE，然后根据等腰三角形的性质求得，然后根据内错角相等两直线平行即可判断；

②根据菱形的判定方法即可解决问题；

（2）只要证明AE=EC，即可证明结论②成立；只要证明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；

（3）①当AB：AD=1：1时，符合题意．②当AD：AB=时，也符合题意

解：（1）①由折叠性质可知：，

又∵

∴△≌△CDE

∴DE=，CE=AE，

∴，

又∵

∴

∴；

②由①可知AE=CE，又由折叠性质可知

将剪下后展开，得到的图形是四条边都相等的四边形，

又∵∠AEC为钝角

∴将剪下后展开，得到的图形是菱形；

故答案为：；菱形；

（2）若选择①证明如下，

四边形是平行四边形，

，

将沿翻折至，

，

，

，

，

，

，

若选择②证明如下：

四边形是平行四边形，

，

，

将沿翻折至，

，

，

，

是等腰三角形；

将剪下后展开，得到的图形四边相等，

将剪下后展开，得到的图形是菱形．

（3）如图中，

①当AB：AD=1：1时，四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠CAD=∠EAB′=45°，

∵AE=AE，∠B′=∠AFE=90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′=AF，

此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
②当AD：AB=时，也符合题意，

∵此时∠DAC=30°，

∴AC=2CD，

∴AF=FC=CD=AB=AB′，

∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或．