Question

【题目】已知抛物线C：y＝与直线l：y＝kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．

（1）当k＝0时，求的值；

（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k＝0时，求的值；

（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k＝2时，求证：不论b为何实数，的值为定值，并求定值；

（4）若将（2）的抛物线改为“y＝ax2”，其他条件不变，则的值还为定值吗？若是，请求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为；（4）为定值，＝|a|．

【解析】

（1）求出抛物线与直线的交点坐标，由两点距离公式求得线段长度，便可计算的值；

（2）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果；

（3）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果；

（4）依照前面的解法进行计算便可．

解：（1）当k＝0时，y＝b，

∴OP＝|b|，

∵＝b，

∴x＝±b，

∴A（﹣b，b），B（b，b），

∴AB＝2b，

∴＝＝；

（2）当k＝0时，y＝b，

设M（x，），

∵MG⊥直线l，

∴MG＝|﹣b|，

∵A（﹣b，0），B（b，0），

∴GA＝|x+b|，GB＝|x﹣b|，

∴＝＝；

（3）当k＝2时，y＝2x+b，

设M（x，），

∵MG∥y轴，

∴G（x，2x+b），

∴GM＝|﹣2x﹣b|＝，

解方程组得，

或

A（，），B（3+，b+6+），

∴GA＝＝，

GB＝＝，

∴GAGB＝5|x2﹣6x﹣3b|，

∴；

（4）是定值．

当k＝0时，y＝b，

设M（x，ax2），

∵MG⊥直线l，

∴MG＝|ax2﹣b|，

解方程组得，

或，

∵A（﹣，b），B（，b），

∴GA＝|x+|，GB＝|x﹣|，

∴＝

∴＝|a|为定值．