Question

【题目】如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现

①当时，____________；②当时，___________．

（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小不变，证明见解析；（3）BD=或

【解析】

（1）①根据中点的定义和勾股定理求出BD、AC和AE，从而求出结论；

②画出图形，求出BD和AE即可求出结论；

（2）利用相似三角形的判定定理证出△ECA∽△DCB，从而证出结论；

（3）根据点E落在AB的延长线上和点E落在AB上分类讨论，分别画出对应的图形，然后求出AE的长，最后根据（2）的结论即可求出结论．

解：（1）①当时，

∵在中，，点分别是边的中点，

∴BD=CD=，AC==

∴AE=CE=

∴

故答案为：；

②当时，如下图所示

AE=AC＋CE=，BD=BC＋CD=6

∴

故答案为：；

（2）当时，的大小不变，证明如下

∵

∴△ECA∽△DCB

（3）（i）当点E落在AB的延长线上时，如下图所示

在Rt△BCE中，CE=，BC=4

BE=

∴AE=AB＋BE=10

∵

∴BD=；

（ii）当点E落在AB上时，如下图所示

在Rt△BCE中，CE=，BC=4

BE=

∴AE=AB－BE=6

∵

∴BD=；

综上：BD=或．