【题目】已知圆是等边的外接圆,延长至,使,连交圆于,点在边上,且,延长至交于.
(1)求证:;
(2)求证:是圆的切线;
(3)求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得AC=BC,∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°,根据作等量代换进而可得,再结合∠BAC=60°即可得证;
(2)过作交的延长线于点,连接,OA,先证≌,可得,进而根据等腰三角形的三线合一可得,再证得即可得证;
(3)连接,先证明,再根据可得,进而可得答案.
(1)证明:是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°,
∵,
,
,
,
,
∴;
(2)证明:如图,过作交的延长线于点,连接,OA,
是的中点,
∴由三角形中位线的性质知,
∵,,
∴≌,
∴,
又∵,
∴,CF⊥,
∵∠ABC=60°,
∴∠AOC=2∠ABC=120°,
∵OA=OC,
∴,
∴,
∴,
∴是圆的切线;
(3)如图,连接,
∵∠ABC+∠AGC=180°,∠CGF+∠AGC=180°,
∴,
∵CF⊥,
∴∠CFG=90°,
∴
∵,
∴,,
∴,
∴,
在Rt△CGF中,,
∴,
∴
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【题目】已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N.
(1)如图1,当D,B,F共线时,求证:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证:∠BFD+∠EFP=30°.
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【题目】某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍,用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍少本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
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【题目】如图①,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P、Q是对角线BD上的两个动点,点P从点D出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动,运动终点为B;点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动,运动终点为D.两点同时出发,设运动时间为x(s),以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y(cm2),y与x的函数图像如图②所示,根据图像回答下列问题:
(1)BD= ,a= ;
(2)当x为何值时,以A、Q、C、P为顶点的图形面积为4cm2?
(3)在整个运动的过程中,若△AQP为直角三角形,请直接写出符合条件的所有x的值:.
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【题目】如图,PQ、PB、QC是⊙O的切线,切点分别为A、B、C,点D在上,若∠D=100°,则∠P与∠Q的度数之和是( )
A.160°B.140°C.120°D.100°
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【题目】二次函数的图象如图所示,给出下列说法:
①;②方程的根为、;③若直线与的图象相交于,,两点则、、、的大小关系是;④当时,;⑤,
其中正确的说法有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图1,已知在四边形ABCD中,,,,动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的方向以1个单位/秒的速度匀速运动,整个运动过程中,△BCP的面积S与运动时间t(秒)的函数关系如图2所示,则AD的长为( )
A.5B.C.8D.
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