Question

10．如图，?ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，AE平分∠FAB．
（1）若∠DFA=40°，求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB得∠DFA=∠FAB，又∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DFA，由此即可解决问题．
（2）连接FE，延长FE交AB的延长线于M，作EH⊥AF于H，EK⊥AM于K，先证明△CEF≌△BEM得CF=BM．EF=EM，再证明△EHF≌△EKM得∠EFH=∠EMK，由此即可解决问题．

解答 （1）解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，∴∠DFA=∠FAB=40°，
∵∠EAF=∠EAM，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAB=20°．
（2）证明：连接FE，延长FE交AB的延长线于M，作EH⊥AF于H，EK⊥AM于K，
∵CF∥MB，
∴∠C=∠EBM，
在△CFE和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBM}\\{EC=EB}\\{∠CEF=∠BEM}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△BEM，
∴CF=BM．EF=EM，
∵∠EAH=∠EAK，EH⊥AF，EK⊥AM，
∴EH=EK，
在RT△EHF和RT△EKM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EM}\\{EH=EK}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△EKM，
∴∠EFH=∠EMK，
∴AF=AM=BM+AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴AF=CD+CF．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加辅助线是解决问题的关键，中线延长，利用角平分线作辅助线是常用手段，属于中考常考题型．