Question

9．已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的两个实数根．
（1）当a为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若此方程的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此平行四边形ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，可得AB=AD，又由平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的两个实数根，可得x²-3ax+3a-1=0有相等的实数根，即△=0，则可求得a的值，继而求得答案；
（2）首先将方程的一个根2，代入x²-3ax+3a-1=0，即可求得a的值，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的两个实数根，
∴△=（-3a）²-4×（3a-1）=9a²-12a+4=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
∴当a=$\frac{2}{3}$时，四边形ABCD是菱形；
∴原方程为：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴这时菱形的边长为：1；

（2）∵此方程的一个根是2，
∴2²-6a+3a-1=0，
解得：a=1，
∴原方程为：x²-3x+2=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
解得：x₁=2，x₂=1，
∴AB+BC=3，
∴平行四边形ABCD的周长是：6．

点评 此题考查了平行四边形的性质、菱形的性质以及根的判别式．注意由菱形的邻边相等，得到x²-3ax+3a-1=0有相等的实数根，即△=0是关键．