Question

4．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP、BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②DP²=PH•PB；③$\frac{FP}{PH}=\frac{3}{5}$；④$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BDC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中正确的是①②．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到$\frac{PD}{CD}=\frac{PH}{PD}$，PB=CD，等量代换得到PD²=PH•PB，故②正确；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得$\frac{PF}{PH}=\frac{DF}{PB}=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③错误；又由四边形ABCD是正方形，易得S_△ABC=S_△BDC，即可求得答案．

解答 解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴$\frac{PD}{CD}=\frac{PH}{PD}$，
∴PD²=PH•CD，
∵PB=CD，
∴PD²=PH•PB，故②正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴$\frac{PF}{PH}=\frac{DF}{PB}=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AB，S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC•CD，
∴S_△ABC=S_△BDC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BDC}}$=1，故④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义以及等积变换．解答此题的关键是灵活利用相似三角形的对应边成比例定理求解．