Question

13．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得当AD和⊙C相切时，△ABE的面积最大，画出此时的图形，然后由已知条件和三角形的相似，可以求得此时的△ABE面积的最大值．

解答 解：由题意可得，当AD与⊙C相切时，△ABE的面积最大，此时点D在D₁的位置，如下图所示，

连接CD₁，则∠CD₁A=90°，
∴△CD₁A∽△OE₁A，
∴$\frac{OA}{{D}_{1}A}=\frac{O{E}_{1}}{{D}_{1}C}$
∵OA=2，AC=3，CD₁=1，
∴$A{D}_{1}=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴$O{E}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${S}_{△AB{E}_{1}}=\frac{（2+\frac{\sqrt{2}}{2}）×2}{2}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的相似、最值，解题的关键是明确题意画出相应的图形，求出相应的图形的面积．