Question

1．在△ABC中，∠BAE是△ABC外角，AD是△ABC的外角平分线，∠BAC=∠BDC，求证：DB=DC．

Answer 1

分析 过点D作DM⊥AB、DN⊥AE，有∠BMD=∠CND，根据AD平分∠BAE有DM=DN，再由∠BAC=∠BDC，∠BFD=∠DCN得到∠DBM=∠DCN，可证△BDM≌△CDN即DB=DC．

解答 解：如图所示：

设AB与CD的交点为F，过点D作DM⊥AB，垂足为M，作DN⊥AE，垂足为N，
则∠BMD=∠CND=90°，
∵AD平分∠BAE，
∴DM=DN，
又∵∠BAC=∠BDC，∠BFD=∠DCN，
∴∠DBM=∠DCN．
在△BDM和△CDN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠DCN}\\{∠BMD=∠CND}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（AAS），
∴DB=DC．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过作两条垂线构建全等三角形是解题关键．