Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0）．
（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标．
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2 ， 此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0），

∴ 解得 ，

∴抛物线C1的解析式为y= x2+x﹣ ，

∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2，

∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）

（2）解：如图1，作CH⊥x轴于H，

∵A（1，0），C（﹣1，﹣2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直线AC的解析式为y=x﹣1，

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y轴，

∵DE=AC=2 ，

∴EF=4，

设F（m， m2+m﹣ ），则E（m，m﹣1），

∴（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，

解得m=﹣3（舍）或m=3，

∴F（3，6）

（3）解：①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

如图2中，作EG⊥AC，交BF于G，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四边形DFBC是平行四边形，

∵∠CDF=90°，

∴四边形DFBC是矩形，

∴EG=BC=AC=2 ，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴ = ，

∵F（3，6），EF=4，

∴E（3，2），

∵C（﹣1，﹣2），

∴EC=4 ，

∴ = =2，

∴tan∠ENM= =2；

∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

②如图3﹣1中，

∵直角三角形EMN中，PE= MN，直角三角形BMN中，PB= MN，

∴PE=PB，

∴点P在EB的垂直平分线上，

∴点P经过的路径是线段PP′，如图3﹣2，

当点M与B重合时，

∵△EGN∽△ECB，

∴ = ，

∵EC=4 ，EG=BC=2 ，

∴EB=2 ，

∴ = ，

∴EN= ，

∵PP′是△BEN的中位线，

∴PP′= EN= ；

∴点M到达点C时，点P经过的路线长为

【解析】
（1）将A、B两点坐标代入函数解析式，建立方程组即可求得解析式，再把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标。
（2）作CH⊥x轴于H，根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x-1，根据题意求得EF=4，求得EF∥y轴，设出点F的坐标，表示出点E的坐标，根据EF=4，解方程即可求得F的坐标。
（3）①先证得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例，即可求得tan∠ENM的值；②首先证明PE=PB，得出点P在EB的垂直平分线上，推出点P经过的路径是线段PP′，如图3-2，当点M与B重合时，可证得△EGN∽△ECB，即可求出EN的长，PP′是△BEN的中位线，根据中位线定理可得出PP′的长。
【考点精析】通过灵活运用三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．