Question

9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
（1）求证：∠DBC=∠E；
（2）若BD=4，BE=DE，求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠E．
（2）设CD=x，则BC=2x，由勾股定理求出BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，再利用${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BD•CD=\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•h=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，求出h=2，
CE=CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•BE•h$=$\frac{1}{2}×（\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）×2$=$\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠E．
（2）设CD=x，则BC=2x，由勾股定理得：（2x）²-x²=4²，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BD•CD=\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•h=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴h=2，
CE=CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•BE•h$=$\frac{1}{2}×（\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）×2$=$\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟记等边三角形的性质．