Question

1．已知直线L过点（2，4），且与两坐标轴围成等腰三角形．求：
（1）该直线的函数解析式；
（2）所得三角形的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出直线L的斜率为±1，设直线L的析式为y=-x+b，代入（2，4）点，根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得斜边的长，即可求得周长和面积．

解答 解：（1）∵直线L与两坐标轴围成等腰三角形，
∴直线L的斜率为±1，
设直线L的解析式为y=±x+b，
∵直线L过（2，4）点，
∴4=±2+b，
解得b=6或b=2，
∴该直线的函数解析式为y=-x+6或y=x+2；
（2）①∵直线L的函数解析式为y=-x+6，
∴令y=0，则x=6，令x=0，则y=6，
∴直线L与坐标轴的交点为（6，0）和（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴所得三角形的周长=6+6+6$\sqrt{2}$=12+6$\sqrt{2}$，
面积=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
②∵直线L的函数解析式为y=x+2，
∴令y=0，则x=2，令x=0，则y=-2，
∴直线L与坐标轴的交点为（-2，0）和（0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所得三角形的周长=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$，
面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故所得三角形的周长为12+6$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$，面积是18或2．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得直线的斜率是解题的关键．