【题目】如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,且点B是劣弧DF的中点.
(1)求证:△EBD≌△EBF;
(2)已知AE=1,EB=5,∠DEB=30°,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2)CD=4
【解析】
(1)连接OD、OF,,根据等弧所对的弦相等,可得BD=BF,再根据弧与圆周角的关系可得∠DBE=∠EBF,利用SAS可得结论;
(2)先由AE=1,EB=5,得到半径OB=3,则OE=2,在Rt△EFO中,利用含30度的直角三角形三边的关系得到OG的长,根据勾股定理可计算DG的长,从而得CD的长.
解:(1)连接OD、OF,
∵B是劣弧DF的中点,
∴,
∴,
∴BD=BF,∠DBE=∠EBF,
在△EBD和△EBF中,
∵,
∴△EBD≌△EBF(SAS);
(2)∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,
∵AB是⊙O的直径,
∴OD=OA=3,OE=3﹣1=2,
过O作OG⊥CD于G,则CD=2DG,
∵∠DEB=30°,∠EGO=90°,
∴OG=OE=1,
由勾股定理得:DG==
=2
,
∴CD=2DG=4.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,当m,n满足mn=k(k为常数,且m>0,n>0)时,就称点(m,n)为“等积点”.若直线y=﹣x+b(b>0)与x轴、y轴分别交于点A和点B,并且该直线上有且只有一个“等积点”,过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C,点E是直线AC上的“等积点”,点F是直线BC上的“等积点”,若△OEF的面积为,则OE=______.
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【题目】已知抛物线与 y 轴交于点 C(0,4),与 x 轴交于点 A、B,点 A 的坐标为(4,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QE∥AC,交 BC 于点 E,连接 CQ,当△CQE 的面积最大时,求点 Q的坐标;
(3)当点 Q 从点 B 出发沿着 BA 方向以每秒 2 个单位长向点 A 运动,同时点 P 从点 A 出发沿着 AC 方向以每秒 个单位长度向点 C 运动,其中一个点到达终点,另一个点也停止运动,设 P、Q 运动时间为 t 秒,当 t 为何值?△APQ为等腰三角形?
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【题目】如图,点O、B、A坐标分别为(0,0)、(3,0)、(4,2),将△OAB向上平移1个单位长度得到△O′A′B′.
(1)画出△O′A′B′,并写出点A′、B′的坐标;
(2)求△OAB与△O′A′B′重叠部分的面积.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)求该二次函数图象的顶点和对称轴;
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的图象;
(3)根据图象直接写出方程x2﹣4x+3=0的根;
(4)根据图象写出当y<0时,x的取值范围.
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【题目】如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°.BE平分∠ABC交AC于点D,交△ABC的外接圆于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F.请补全图形后完成下面的问题:
(1)求证:EF是△ABC外接圆的切线;
(2)若BC=5,sin∠ABC=,求EF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线
过A,C两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当时,求
的值.
(3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图①,正方形ABCD的边长为4,动点E从点A出发,以每秒2个单位的速度沿A﹣D﹣A连续做往返运动;动点G从点A出发,以每秒1个单位的速度沿AB方向运动.E、G两点同时出发,当点G到达点B时停止运动,点E也随之停止.过点G作FG⊥AB交AC于点F,以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH,使∠FGH=90°.设点G的运动时间为t(秒),△FGH与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l.
(1)当t=1时,l= .
(2)当t=3时,求l的值.
(3)设DE=y,在图②的坐标系中,画出y与t的函数图象.
(4)当四边形DEGF是平行四边形时,求t的值.
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