Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DGCF=DMEG；

（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】试题分析：（1）先判断出四边形DEFM是平行四边形，得到DM=EF，由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证代换，即可；

（2）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1．

试题解析：（1）证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC．

∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF．如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C．∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC．∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF，

∴DG：EF=EG：CF，∴DG：DM=EG：CF，∴DG：EG=DM：CF，∴DGCF=DMEG；

（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴BD：BE=BG：BD，∴BD2=BGBE．∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH．又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EH：EF=EF：EC，∴EF2=EHEC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BGBE=EHEC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．