Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．

Answer 1

【答案】详见解析．

【解析】

作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC≌△BAF（SAS），可得结论．

证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，

∵P是CD中点，

∴CP＝DP，

∴四边形ACFD是平行四边形，

∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，

∴∠FDB＝∠BAC＝60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，

∴∠ABF＝∠BAC，

在△ABC和△BAF中，

∵，

∴△ABC≌△BAF（SAS），

∴AF＝BC，

∴AP＝AF＝BC．