【题目】如图,已知AB=10,以AB为直径作半圆O,半径OA绕点O顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当点C与点B重合时停止.连接BC并延长到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,AC.
(1)AD= ;
(2)如图1,当点E与点O重合时,判断△ABD的形状,并说明理由;
(3)如图2,当OE=1时,求BC的长;
(4)如图3,若点P是线段AD上一点,连接PC,当PC与半圆O相切时,直接写出直线PC与AD的位置关系.
【答案】(1)10;(2)(2)△ABD是等边三角形,理由详见解析;(3)BC的长为或2;(4)PC⊥AD,理由详见解析
【解析】
(1)由圆周角定理得到,结合已知条件和等腰三角形“三线合一”性质推知;
(2)是等边三角形.理由:由等腰 “三线合一”性质得到;又由(1)的结论可以推知,即是等边三角形;
(3)分类讨论:点在线段和线段上,借助于勾股定理求得的长度;
(4)由三角形中位线定理知,又由切线的性质知,所以根据平行线的性质推知.
解:(1)是圆的直径,
.
又,
.
故答案是:10;
(2)是等边三角形,
理由如下:如图1,
点与点重合,
,
,
,
,
,
是等边三角形;
(3)如图2,
,
,
当点在上时,
则,,
,,
在和中,
由勾股定理得,即,
解得,
;
当点在上时,同理可得,
解得,
,
综上所述,的长为或;
(4).理由如下:
如图3,连接.
点是的中点,点是的中点,
是的中位线,
.
又与半圆相切,
,
.
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【题目】 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,连结AE、BD且AE=AB
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
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【题目】在四边形 ABCD 中,E 为 BC 边中点.
(Ⅰ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,点 F 为 AD 上一点,AF=AB.求证:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,点 F,G 均为 AD上的点,AF=AB,GD=CD.求证:(1)△GEF 为等边三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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【题目】为上标保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示:
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,对角线AC、BD交于点O,AO=CO,CD⊥BD,如果CD=3,BC=5,那么AB=_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,如果某点的横坐标与纵坐标的和为10,则称此点为“合适点”例如,点(1,9),(﹣2019,2029)…都是“合适点”.
(1)求函数y=2x+1的图象上的“合适点”的坐标;
(2)求二次函数y=x2﹣5x﹣2的图象上的两个“合适点”A,B之间线段的长;
(3)若二次函数y=ax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点”,其坐标为(4,6),求二次函数y=ax2+4x+c的表达式;
(4)我们将抛物线y=2(x﹣n)2﹣3在x轴下方的图象记为G1,在x轴及x轴上方图象记为G2,现将G1沿x轴向上翻折得到G3,图象G2和图象G3两部分组成的记为G,当图象G上恰有两个“合适点”时,直接写出n的取值范围.
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【题目】定义:同时经过x轴上两点A,B(m≠n)的两条抛物线称为同弦抛物线.如抛物线C1:与抛物线C2:是都经过,的同弦抛物线.
(1)引进一个字母,表达出抛物线C1的所有同弦抛物线;
(2)判断抛物线C3:与抛物线C1是否为同弦抛物线,并说明理由;
(3)已知抛物线C4是C1的同弦抛物线,且过点,求抛物线C对应函数的最大值或最小值.
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