【题目】定义:同时经过x轴上两点A,B
(m≠n)的两条抛物线称为同弦抛物线.如抛物线C1:
与抛物线C2:
是都经过
,
的同弦抛物线.
(1)引进一个字母,表达出抛物线C1的所有同弦抛物线;
(2)判断抛物线C3:与抛物线C1是否为同弦抛物线,并说明理由;
(3)已知抛物线C4是C1的同弦抛物线,且过点,求抛物线C对应函数的最大值或最小值.
【答案】(1):;(2)不是,理由见解析;(3)抛物线有最小值为﹣
.
【解析】
(1)抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0且a≠1);
(2)y=(x2﹣3x+2)=
(x﹣1)(x﹣2),抛物线与x轴的交点为:(1,0)、(2,0),即可求解;
(3)C4是C1的同弦抛物线,设其抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0且a≠1),把点(4,5)代入上式并解得:a=,即可求解.
(1)抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0且a≠1);
(2)不是,
理由是:
y=(x2﹣3x+2)=
(x﹣1)(x﹣2),
抛物线与x轴的交点为:(1,0)、(2,0);
∴C3与抛物线C1不是同弦抛物线;
(3)C4是C1的同弦抛物线,设其抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0且a≠1);
把点(4,5)代入上式并解得:a=,
故抛物线表达式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=
(x﹣2)2﹣
,
∵a=>0,故抛物线有最小值为:﹣
.
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【题目】如图,已知AB=10,以AB为直径作半圆O,半径OA绕点O顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当点C与点B重合时停止.连接BC并延长到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,AC.
(1)AD= ;
(2)如图1,当点E与点O重合时,判断△ABD的形状,并说明理由;
(3)如图2,当OE=1时,求BC的长;
(4)如图3,若点P是线段AD上一点,连接PC,当PC与半圆O相切时,直接写出直线PC与AD的位置关系.
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【题目】某公司开发一种新的节能产品,工作人员对销售情况进行了调查,图中折线表示月销售量
(件)与销售时间
(天)之间的函数关系,已知线段
表示函数关系中,时间每增加
天,月销售量减少
件,求
与
间的函数表达式.
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【题目】如图,菱形ABCD的顶点A,D在直线l上,∠BAD=60°,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB′C′D′,B′C′交对角线AC于点M,C′D′交直线l于点N,连接MN,当MN∥B′D′ 时,解答下列问题:
(1)求证:△AB′M≌△AD′N;
(2)求α的大小.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点,点P为抛物线的顶点(m为整数),当点P在正方形OABC内部或边上时,抛物线下方(包括边界)的整点最少有( )
A.3个B.5个C.10个D.15个
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【题目】(1)如图1,在⊙O中,弦AB与CD相交于点F,∠BCD=68°,∠CFA=108°,求∠ADC的度数.
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(DE>CE),连接AE,并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.
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【题目】如图,已知二次函数y=x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D,与y轴交于点C,顶点为A,分别连接AB,BC,CD,DA.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)当y>0时,自变量x的取值范围是 .
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【题目】如图,在正方形中,点E在边
上,将点E绕点D逆时针旋转得到点F,若点F恰好落在边
的延长线上,连接
,
,
.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)若,则
的面积为________.
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【题目】下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程.
已知:如图1,△ABC.
求作:AB边上的高线.
作法:如图2,
①分别以A,C为圆心,大于长
为半径作弧,两弧分别交于点D,E;
② 作直线DE,交AC于点F;
③ 以点F为圆心,FA长为半径作圆,交AB的延长线于点M;
④ 连接CM.
则CM 为所求AB边上的高线.
根据上述作图过程,回答问题:
(1)用直尺和圆规,补全图2中的图形;
(2)完成下面的证明:
证明:连接DA,DC,EA,EC,
∵由作图可知DA=DC =EA=EC,
∴DE是线段AC的垂直平分线.
∴FA=FC .
∴AC是⊙F的直径.
∴∠AMC=______°(___________________________________)(填依据),
∴CM⊥AB.
即CM就是AB边上的高线.
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