Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），

∴直线OF的解析式为y=x．

设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、

∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，

∴E（1，﹣3）．

又∵A（2，0），点E在直线EA上，

∴ ，

解得 ，

∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．

∵点P是直线OF与直线EA的交点，则 ，

解得 ，

∴点P的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F的坐标是（1，t）．

∴直线OF的解析式为y=tx．

设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．

由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．

又点A、E在直线EA上，

∴ ，

解得 ，

∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．

∵点P为直线OF与直线EA的交点，

∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．

则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．

直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．

∵点P为直线OF与直线EA的交点，

∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），

化简，得 x=2﹣ ．

有 y=tx=2t﹣ ．

∴点P的坐标为（2﹣ ，2t﹣ ）．

∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣ ），

∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2，

∵OQ=PQ，

∴1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，

化简，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．

又∵t≠0，

∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，

解得 m= 或m= ．

则m= 或m= 即为所求．

【解析】（Ⅰ）①根据题意可知直线OF是正比例函数，根据点F的坐标，利用待定系数法可求出此函数的解析式；再根据点F、点M的坐标及点E和点F关于点M对称，可求出点E的坐标，利用待定系数法由点A、点E的坐标就可求得直线AE的函数解析式；再由两直线联立方程组，解方程组即可求出点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t），设直线OF的解析式为y=tx，设直线EA的解析式为y=cx+d，再根据轴对称的性质得出点E的坐标，再将A、E的坐标代入函数解析式，即可求出直线AE的函数解析式；根据点P为直线OF与直线EA的交点，将两函数解析式联立方程组，即可求出t的值，就得到y关于x的函数解析式。
（Ⅱ）由直线OF的解析式和直线EA的解析式联立方程组，求出交点P的坐标，根据PQ⊥l于点Q，分别求出OQ2，PQ2，再根据OQ=PQ，即可求出m的值。