Question

如图，正方形ABCD的边长为8，E、F分别为BC、CD边上的点，且tan∠EAF=

1

2

，FG∥BC交AE于点G．若FG=5，则EF的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：延长FG交AB于H，过点G作GK⊥AF于K，设GK=x，表示出AK，利用勾股定理列式表示出AG²，KF，再表示出AH，AF，在Rt△AHF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，从而求出AH，再根据△AHG和△ABE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BE、BH，再求出EC、FC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长FG交AB于H，过点G作GK⊥AF于K，设GK=x，
∵tan∠EAF=

1

2

，
∴AK=2x，
在Rt△AGK中，AG²=GK²+AK²=x²+（2x）²=5x²，
∵正方形ABCD的边长为8，FG=5，
∴HG=8-5=3，
∴AH=

AG2-HG2

=

5x2-9

，
在Rt△GFK中，KF=

FG2-GK2

=

25-x2

，
AF=2x+

25-x2

，
在Rt△AFH中，AF²=AH²+HF²，
即（2x+

25-x2

）²=（

5x2-9

）²+8²，
整理得，x⁴-14x²+45=0，
解得x²=5或9，
所以，x=

5

或3，
当x=

5

时，AH=

5×5-9

=4，
∴BH=8-4=4，
∵FG∥BC，
∴△AHG∽△ABE，
∴

AH

AB

=

HG

BE

，
即

4

8

=

3

BE

，
解得BE=6，
∴CE=8-6=2，
在Rt△CEF中，EF=

EC2+CF2

=

22+42

=2

5

，
当x=3时，AH=

5×9-9

=4，
∴BH=8-6=2，
∵FG∥BC，
∴△AHG∽△ABE，
∴

AH

AB

=

HG

BE

，
即

6

8

=

3

BE

，
解得BE=4，
∴CE=8-4=4，
在Rt△CEF中，EF=

EC2+CF2

=

42+22

=2

5

，
综上所述，EF的长为2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后解无理方程．