如图.抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A.交y轴于点C.抛物线的顶点为D.下列四个命题: ①当x＞0时.y＞0, ②若a=﹣1.则b=3, ③抛物线上有两点P(x1.y1)和Q(x2.y2).若x1＜1＜x2.且x1+x2＞2.则y1＞y2, ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E.点G.F分别在x轴和y轴上.当m=2时.四边形EDFG周长的最小值为6� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，抛物线y=﹣x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：

①当x＞0时，y＞0；

②若a=﹣1，则b=3；

③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．

其中真命题的序号是　　　　　　．

　②③　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题．

【分析】观察函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断；抛物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性可对②进行判断；确定点Q比点P离对称轴的距离要大，则根据二次函数的性质可对③进行判断；当m=2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股计算出DE=，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根据对称的性质得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根据两点之间线段最短可判断此时四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出D′E′=，于是可对④进行判断．

【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；

抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，当a=﹣1，即A（﹣1，0），而点A与点B为对称点，则B（3，0），所以②正确；

因为x₁＜1＜x₂，所以点P和Q在对称轴两侧，而x₁+x₂＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y₁＞y₂，所以③正确；

当m=2时，y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，则D（1，4），C（0，3），

∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，

∴E（2，3），

∴DE==，

作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），

∴FD=FD′，GE=GE′，

∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，

∴此时四边形EDFG周长的最小，

而D′E′==，

∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以④错误．

故答案为②③．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法．

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