Question

如图所示，有一Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线上运动．问：
（1）P点运动到AC上什么位置时，△ABC≌△QPA？
（2）在第（1）小题条件下，若PQ与AB交于N，判断△APN是什么三角形，简要说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）当P运动到AC中点时，△ABC≌△QPA，理由为：由P为AC中点，求出AP=5cm，即BC=AP，再由AB=PQ，利用HL即可得证；
（2）△APN为直角三角形，理由为：由△ABC≌△QPA，得到一对角相等，根据三角形APQ为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，得到∠ANP为直角，即可得证．

解答：解：（1）当P运动到AC中点时，△ABC≌△QPA，理由为：
若P为AC的中点，则有CP=AP=

1

2

AC=5cm，即BC=AP=5cm，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，

AB=PQ BC=AP

，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
（2）△APN为直角三角形，理由为：
∵△ABC≌△QPA，
∴∠BAC=∠PQA，
∵∠PQA+∠QPA=90°，
∴∠BAC+∠QPA=90°，即∠ANP=90°，
∴△APN为直角三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．