Question

如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，CE=CD，连接BE、DA交于点O，CF⊥BE交AB于点F，在BE的延长线上取一点G，连接GF与AC、AD分别交于点M、点N，使得GM=GE．
（1）求证：△ADC≌△BEC；GF⊥AD；
（2）若FG=5，BG=11，求CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由等腰三角形的性质就可以得出△ADC≌△BEC，就有∠1=∠2，∠10=∠11，由GM=GE就可以得出∠3=∠4，就有∠5=∠1，由∠1+∠11=90°，就有∠5+∠10=90°，得出∠ANM=90°，进而得出结论；
（2）连结OC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠8=∠9，得出AO=BO，就可以得出△ACO≌△BCO，就可以得出∠ACO=∠BCO=45°=∠BAC，由CF⊥BE，就可以得出∠CHE=90°就有∠1+∠HCE=90°，得出∠HCE=∠11，就可以△BCO≌△CAF，就可以得出OC=AF，就可以得出△AFM≌△COE就可以得出MF=CO，

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CE=CD，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
在△ADC和△BEC，

AC=BC ∠ACB=∠ACB DC=EC

，
∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴∠1=∠2，∠10=∠11．
∵GM=GE，
∴∠3=∠4．
∵∠1=∠3，∠5=∠4，
∴∠1=∠5．
∵∠1+∠11=90°，
∴∠5+∠10=90°，
∴∠ANM=90°，
∴GF⊥AD；
（2）连结OC．
∵∠BAC=∠CBA，
∴∠BAC-∠10=∠CBA-∠11，
∴∠8=∠9，
∴AC=BC．
在△ACO和△BCO中

AO=BO ∠10=∠11 AC=BC

，
∴△ACO≌△BCO（SAS），
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠CAB=∠ACO．
∵CF⊥BE，
∴∠CHE=90°，
∴∠1+∠HCE=90°，
∵∠1+∠11=90°，
∴∠HCE=∠11．
在△BCO和△CAF中

∠11=∠HCE BC=CA ∠BCO=∠CAF

，
∴△BCO≌△CAF（ASA），
∴CO=AF．
在△AFM和△COE中

∠CAB=∠ACO ∠5=∠1 AF=CO

，
∴△AFM≌△COE（AAS），
∴FM=OE．
∴FM+MG=OE+EG，
∴FG=OG．
∵OB=BG-OG，
∴OB=BG-FG．
∵FG=5，BG=11，
∴OB=11-5=6．
答：OB=6．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，对顶角的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．