Question

已知平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+4x与x轴交于点A（x₁，0），x₁＞0，对称轴为直线l，点P（m，n）为抛物线上一点，且在第四象限，点P关于直线l对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若四边形OPAF的面积为20，求m、n的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再代入抛物线的解析式中即可求出m的值．

解答：解：∵抛物线y=-x²+4x，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∴点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），
∴点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），
∴FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
∴四边形OAPF是平行四边形；
即S=OA•|n|=20，即|n|=5；
∵点P为第四象限的点，
∴n＜0，
∴n=-5；
代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．

点评：此题主要考查二次函数的性质，坐标轴公式，顶点公式，此题是一道综合题，注意第二问难度比较大；