Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°.如图甲，若EA＝EF，则EF＝_____；如图乙，若CE＝CF，则EF＝_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．

（2）作辅助线FM 和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．

解：（1）如图甲所示：

∵EA＝EF，

∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF＝∠EFA，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EFA＝45°，

又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，

∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，

∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

在△ABE和△ECF中

，

∴△ABE≌△ECF（AAS）

∴AB＝EC，BE＝CF，

又∵AB＝3，BC＝4，

∴EC＝3，CF＝1，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：

故答案为．

（2）如图乙所示：

作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，

又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，

∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，

又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∵∠BAE+∠NEA＝45°，

在△ANE和△FMA中

，

∴△ANE∽△FMA

∴；

又∵MD＝x，∴DF＝x，

∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，

∴FC＝EC＝3﹣x，BE=BC-CE=4-(3-x)=x+1，AN＝2﹣x，

∴，

解得：x=2﹣4或x=﹣2﹣4（舍去），

∴FC＝3﹣（2﹣4）＝7﹣2，

∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．

故答案为7﹣4．