Question

【题目】如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．

（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点．

（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，

①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．

（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，

①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；②直接写出AE+BE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）B，F；（2）①见解析，②∠ADE＝40°；（3）①AE的长为或，②AE+BE.

【解析】

（1）求AD2＝5，DC2＝5，DB2＝10，得AD2+DC2＝DB2，即点D是△ABC关于点B的勾股点；求出FA2，FB2，FC2，得到FA2+FB2＝FC2，即点F是△ABC关于点A的勾股点．

（2）①由矩形性质得∠ADC＝90°，可得AD2+DC2＝AC2；根据勾股数得BC2+EC2＝AC2，又因为AD＝BC，即得CE＝CD．

②设∠CED＝α，根据∠AEC＝120°和CE＝CD即∠ADC＝90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．

（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE＝CD＝5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②由画图可知，当BE⊥AC时，AE+BE取得最小值．过点E分别作AB、BC的垂线，通过勾股定理计算即可求出答案．

解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5

∴DB2＝DC2+DA2

∴点D是△ABC关于点B的勾股点

∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4

∴点E不是△ABC的勾股点

∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5

∴FA2＝FB2+FC2

∴点F是△ABC关于点A的勾股点

∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8

∴点G不是△ABC的勾股点

故答案为：B；F．

（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点

∴CA2＝CB2+CE2

∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°

∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2

∴CB2+CE2＝CB2+CD2

∴CE＝CD

②设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α

∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α

∵∠AEC＝120°

∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α

∵DA＝DE

∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α

∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°

∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°

解得：α＝50°

∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°

（3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6

∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5

∵点C是△ABE关于点A的勾股点

∴CE＝CD＝5

i）如图1，

若DE＝DA，则DE＝6

过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N

∴∠AME＝∠MND＝90°

∴四边形AMND是矩形

∴MN＝AD＝6，AM＝DN

设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x

∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2

∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2

∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2

解得：x＝

∴EN＝，AM＝DN＝

∴ME＝MN﹣EN＝6﹣

∴Rt△AME中，AE＝

ii）如图2，

若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上

过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q

∴AP＝DP＝

AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°

∴四边形CDPQ是矩形

∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3

∴Rt△CQE中，EQ＝

∴PE＝PQ﹣EQ＝1

∴Rt△APE中，AE＝

iii）如图3，

若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2

∴∠AEC＝90°

取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上

∴点E也在⊙O上

∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意

综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．

②当BE⊥AC时，AE+BE取得最小值．

过点E分别作ER⊥AB于点R，ES⊥BC于点S,

∴四边形BRES是矩形，∠EBS与∠ACB互余

∴∠EBS＝∠ACD

∴tan∠EBS＝tan∠ACD＝

∴tan∠EBS＝

设ES＝6a，BS＝5a，则BE＝，CS＝6﹣5a，AR＝5﹣6a

∵Rt△CES中，CS2+ES2＝CE2，即（6﹣5a）2+（6a）2＝52

解得：a1＝（舍去），a2＝，61a2﹣60a＝﹣11

∴Rt△ARE中，AE＝＝

∴AE+BE＝.