Question

【题目】如图, 在等边△ABC中, D, E, F分别为边AB, BC, CA上的点, 且满足∠DEF=60°．

（1）求证：；

（2）若DE⊥BC且DE=EF, 求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，再由已知条件和三角形外角的性质可证明∠BDE=∠FEC，进而证明△DBE∽△ECF，根据相似三角形的性质即可得出结论．

（2）由相似三角形的性质和已知条件得出BD=CE，由含30°角的直角三角形的性质得出BEBD，即可得出结果．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

又∵∠DEF=60°，

∴∠DEF=∠B．

∵∠DEC是△DBE的外角，

∴∠DEC=∠B+∠BDE，

即∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE．

∵∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

又∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CEF，

∴，

∴BECE=BDCF；

（2）∵△BDE∽△CEF，

∴，

又∵DE=EF，即，

∴BD=CE．

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°．

∵∠B=60°，

∴∠BDE=30°，

∴BEBD，

∴．