Question

【题目】定义: 对于平面直角坐标系xOy上的点P(a, b) 和抛物线, 我们称P(a, b)是抛物线的相伴点, 抛物线是点P(a, b) 的相伴抛物线．

如图，已知点A(-2, -2)，B(4, -2)，C(1, 4)．

(1) 点A的相伴抛物线的解析式为 　 ；过A, B两点的抛物线的相伴点坐标为 　 ；

(2) 设点P(a, b) 在直线AC上运动:

①点P(a, b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上, 求抛物线Ω的解析式．

②当点P(a, b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC 内部时, 请直接写出 a 的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)y=x2-2x-2;P(-2,-10)；（2）①y=-x2-4x+2；②．

【解析】

（1）a=b=﹣2，故抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣2．

故答案为：y=x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=﹣2，b=﹣10；

（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：(m，m2+2m+2)，即可求解；

②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．

（1）a=b=﹣2，故抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣2．

故答案为：y=x2﹣2x﹣2；

将点A、B坐标代入y=x2+ax+b得：，解得：a=﹣2，b=﹣10．

故答案为：(﹣2，﹣10)；

（2）①由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，

设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，

顶点为：(m，m2+2m+2)，

令xm，则m=﹣2x，

则ym2+2m+2=﹣x2﹣4x+2，

即抛物线Ω的解析式为：y=﹣x2﹣4x+2；

②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，

抛物线与直线AC的交点为点E(0，2)；

当y=﹣2时，即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2，解得：x=﹣2，

故点F(﹣2，﹣2)；

故0＜x＜﹣2+2，由①知：a=m=﹣2x，

故：4﹣4a＜0．