【题目】内接于⊙
,
是直径,
,点
在⊙
上.
(1)如图,若弦交直径
于点
,连接
,线段
是点
到
的垂线.
①问的度数和点
的位置有关吗?请说明理由.
②若的面积是
的面积的
倍,求
的正弦值.
(2)若⊙的半径长为
,求
的长度.
【答案】(1)没有关系,∠CDF=∠CAB=60°;(2);(3)
或
【解析】
(1)①根据同弧所对的圆周角解答即可;②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系,利用三角形的面积公式得出,然后根据正弦的定义可求出
的正弦值;
(2)分两种情况求解:①当D点在直径AB下方的圆弧上时;当D点在直径AB上方的圆弧上时.
解:(1)①没有关系,理由如下:
当D在直径AB的上方时,如下图,
∵AB为直径,∴∠ACB=90°;
∵∠ABC=30°,∴∠CAB=60°;
∴∠CDF=∠CAB=60°;
当D在直径AB的下方时,如下图
∵∠CAB=60°,
∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,
∴∠CDF=60°.
②∵CF⊥BD,AB为直径;∴ ∠ACB=∠CFD=90°;
由①得,∠CDF=∠CAB=60°,
∴ ;
;
∵;
;
∴;∴
(2)∵半径为2,,
∴弧CD所对圆心角
①当D点在直径AB下方的圆弧上时;
如图,连结OD,过D作DE⊥AB于E;
由(1)知,,∴
;
∴;
OD=2,∴,
,
;
∴;
②当D点在直径AB上方的圆弧上时,
如图,连结OD,过D作DF⊥AB于F;
此时;
∴,
,
;
∴;
综上所述:BD的长为或
.
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【题目】已知抛物线与x轴分别交于
,
两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设,当k为何值时,
.
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线与直线
相交于
,
两点,且抛物线经过点
(1)求抛物线的解析式.
(2)点是抛物线上的一个动点(不与点
点
重合),过点
作直线
轴于点
,交直线
于点
.当
时,求
点坐标;
(3)如图所示,设抛物线与轴交于点
,在抛物线的第一象限内,是否存在一点
,使得四边形
的面积最大?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC垂足为D,弧AE=弧AB,BE分别交AD、AC于点F、G.
(1)判断△FAG的形状,并说明理由;
(2)如图②若点E与点A在直径BC的两侧,BE、AC的延长线交于点G,AD的延长线交BE于点F,其余条件不变(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若BG=26,DF=5,求⊙O的直径BC.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中.直线y=﹣x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过B,C两点,与x轴负半轴交于点A,连结AC,A(-1,0)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上在第一象限内的一点,求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值;
(3)若M为抛物线的顶点,点Q在直线BC上,点N在直线BM上,Q,M,N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形,求点N的坐标.
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【题目】在正方形中,点
是直线
上动点,以
为边作正方形
,
所在直线与
所在直线交于点
,连接
.
(1)如图1,当点在
边上时,延长
交
于点
,
与
交于点
,连接
.
①求证:;
②若,求
的值;
(2)当正方形的边长为4,
时,请直接写出
的长.
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【题目】廊桥是我国古老的文化遗产.如图,是某座抛物线型的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面
高为8米的点
、
处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离
是____米.
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【题目】如图, 在等边△ABC中, D, E, F分别为边AB, BC, CA上的点, 且满足∠DEF=60°.
(1)求证:;
(2)若DE⊥BC且DE=EF, 求的值.
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【题目】某工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本 16 元,工厂将该产品进行网络批发,批发单价 y(元)与一次性批发量 x(件)(x为正整数)之间满 足如图所示的函数关系.
(1)直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围;
(2)若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时,求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式,同时当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?
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