Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A(-1,0)

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；

（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣（m﹣）2+，当m=时，S有最大值是；（3）点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）

【解析】试题分析：（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值；

（3）先将抛物线配方成顶点式求M（1，4），利用待定系数法求直线MB的解析式，利用解析式分别表示N、Q两点的坐标；

分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，

过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，证明△EMQ≌△FQN，根据全等三角形的性质EM=FQ，EQ=FN，列方程组解出即可；

②当N在射线BM上时，如图3，同理可求得点N的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，

∴当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

当y=0时，-x+3=0，

x=3，

∴B（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），

把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），

a=-1，

∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，

∵P（m，n），

∴OE=m，BE=3-m，PE=n，

S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BEPE，

=m（n+3）+n（3-m），

=m+n，

∵n=-m2+2m+3，

∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，

当m=时，S有最大值是；

（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴M（1，4），

设直线BM的解析式为：y=kx+b，

把B（3，0），M（1，4）代入得： ，解得： ，

∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，

设N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），

分两种情况：

①当N在射线MB上时，如图2，

过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，

∵△EQN是等腰直角三角形，

∴MQ=QN，∠MQN=90°，

∴∠EQM+∠FQN=90°，

∵∠EQM+∠EMQ=90°，

∴∠FQN=∠EMQ，

∵∠QEM=∠QFN=90°，

∴△EMQ≌△FQN，

∴EM=FQ，EQ=FN，

∴，解得： ，

当a=2时，y=-2a+6=-2×2+6=2，

∴N（2，2），

②当N在射线BM上时，如图3，

同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，

∴EN=FQ，EQ=FM，

∴，解得： ，

∴N（-1，8），

综上所述，点N的坐标为（2，2）或（-1，8）．