Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF+EF＝BF，证明见解析

【解析】

（1）根据正方形的四条边都相等可得DA＝AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF＝AE，AF＝DE，然后根据图形列式整理即可得证；

（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF＝AE，AF＝DE，然后结合图形写出结论即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，

∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF＝AE，AF＝DE，

（2）AF+BF＝EF；

∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，

∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF＝AE，AF＝DE，

∴AF+EF＝BF．