Question

【题目】如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；

（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．

Answer 1

【答案】（1）△FAG是等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）BC＝．

【解析】

（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，从而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF＝BF，从而证得FA＝FG，判定等腰三角形；

（2）成立，同（1）的证明方法即可得答案；

（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F为BG的中点根据直角三角形的性质得到AF＝BF＝BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD＝12，AB＝4，由∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可证明△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）△FAG等腰三角形；理由如下：

∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ABE+∠AGB＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形．

（2）成立，理由如下：

∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ABE+∠AGB＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形．

（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，

∴∠BAD＝∠ABG，

∴AF＝BF，

∵AF＝FG，

∴BF=GF，即F为BG的中点，

∵△BAG为直角三角形，

∴AF＝BF＝BG＝13，

∵DF＝5，

∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，

∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，

∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，

∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABC∽△DBA，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝，

∴⊙O的直径BC＝．