Question

7．如图，已知矩形ABCD 中，E、F 分别为BC、AD 上的点，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠后，点B 落在CD 边上的点G 处，点A 的对应点为点H．再将折叠后的图形展开，连接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
（1）求证：△ABF≌△DFG；
（2）已知AB=3，AD=5，求tan∠CBG 的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠AFB+∠ABF=90°，∠AFB+∠DFG=90°，即可得到∠ABF=∠DFG，由折叠知BF=GF，根据AAS即可判定△ABF≌△DFG；
（2）根据全等三角形的性质可得DF=AB=3，DG=AF，求得DG再根据，四边形ABCD是矩形，求得CG，即可得出tan∠CBG 的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠ABF=90°，
∵BF⊥GF，
∴∠AFB+∠DFG=90°，
∴∠ABF=∠DFG，
由折叠知BF=GF，
在△ABF和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABF=∠DFG}\\{BF=GF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DFG（AAS）；

（2）由（1）得DF=AB=3，DG=AF，
∴DG=AF=AD-DF=5-3=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠C=90°，
∴CG=CD-DG=3-2=1，
∴tan∠CBG=$\frac{CG}{BC}=\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定，矩形的性质以及解直角三角形，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．