Question

【题目】如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4，C（﹣3，0）；（2）满足条件的点M的坐标为（，﹣）或（5，）；（3）存在满足条件的点D，点D坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．

【解析】

第一问求解析式主要利用待定系数求解，利用一次函数y＝x﹣4，求解出A点坐标和B点坐标，然后代入方程即可，

第二问求解M点的坐标，需要讨论，因为∠MBA+∠CBO＝45°是动态的，故当BM⊥BC时是一种情况，利用tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，可以给出等式关系，求出M点，BM与BC关于y轴对称时是第二种情况，tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，可以出给等式关系，求出M点

第三问，需要讨论，因为四个点，知晓其中三个点，可以这样讨论，当CP为菱形的边，CQ为对角线这是第一种情况，利用解直角三角形求出Q点的纵坐标，就知道D点的纵坐标，然后利用cos∠BCO＝，建立等式即可求出菱形的边长，利用菱形边长和Q点横坐标，即可得到Q点横坐标，当CQ和CP均为菱形的边这是第二种情况，因为CP=CQ=BQ，所以Q点在BC的中，即菱形的边长出来了，利用解直角三角形即可给出Q点的纵坐标，知道菱形的边长，所以D点的横纵坐标都出来了，当CQ为菱形的边，CP为菱形的对角线这是第三种情况，利用解直角三角形，可以给出Q点坐标，我们可以知道D点和Q点关于x轴对称，有菱形的基本性质可以知道，所以D点坐标出来了

（1）直线解析式y＝x﹣4，

令x＝0，得y＝﹣4；

令y＝0，得x＝4．

∴A（4，0）、B（0，﹣4）．

∵点A、B在抛物线y＝x2+bx+c上，

∴

，

解得 ，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣4．

令y＝x2﹣x﹣4＝0，

解得：x＝﹣3或x＝4，

∴C（﹣3，0）．

（2）∠MBA+∠CBO＝45°，

设M（x，y），

①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．

∵∠ABO＝45°，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，故点M满足条件．

过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E＝x，OE＝﹣y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，

∴，

∴直线BM1的解析式为：y＝x﹣4．

联立y＝x﹣4与y＝x2﹣x﹣4，

得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝ ，

∴y1＝﹣4，y2＝﹣ ，

∴M1（，﹣）；

②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．

∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，

故点M满足条件．

过点M2作M2E⊥y轴于点E，

则M2E＝x，OE＝y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，

∴ ，

∴直线BM2的解析式为：y＝x﹣4．

联立y＝x﹣4与y＝x2﹣x﹣4得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝5，

∴y1＝﹣4，y2＝，

∴M2（5，）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，﹣ ）或（5，）．

（3）设∠BCO＝θ，则tanθ＝ ，sinθ＝，cosθ＝．

假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．

①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ＝t，菱形边长＝t．

∴CE＝CQ＝（5﹣t）．

在Rt△PCE中，cosθ＝ ＝ ＝ ，

解得t＝ ．

∴CQ＝5﹣t＝．

过点Q作QF⊥x轴于点F，

则QF＝CQsinθ＝，CF＝CQcosθ＝，

∴OF＝3﹣CF＝．

∴Q（﹣，﹣）．

∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，

∴D1（﹣，﹣）；

②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ＝t，菱形边长＝t．

∵BQ＝CQ＝t，

∴t＝ ，点Q为BC中点，

∴Q（﹣ ，﹣2）．

∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，

∴D2（1，﹣2）；

③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ＝t，菱形边长＝5﹣t．

在Rt△CEQ中，cosθ＝ ＝ ＝，

解得t＝．

∴OE＝3﹣CE＝3﹣t＝ ，D3E＝QE＝CQsinθ＝（5﹣ ）× ＝．

∴D3（﹣，）．

综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．