Question

【题目】⑴如图1，是正方形边上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.

①线段和的数量关系是 ；

②写出线段和之间的数量关系.

⑵当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.

①如图2，点在线段上时，请探究线段和之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点；若 ,直接写出线段的长度.

Answer 1

【答案】⑴①; ②；⑵①. 理由见解析，②的长度为 . 理由见解析.

【解析】

（1）①根据旋转的性质解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．

（1）①DB=DG，理由是：

∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，

由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBD=45°，

∴∠G=45°，

∴∠G=∠CBD=45°，

∴DB=DG；

故答案为：DB=DG；

②BF+BE=BD，理由如下：

由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴BE=FG，

∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，

∴CD=CG=CB，

∵DG=BD=BC，

即BF+BE=2BC=BD；

（2）①如图2，BF+BE=BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°，

由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

∴DB=DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE=FG，

∴BF+BE=BF+FG=BG，

过点D作DM⊥BG于点M，如图2，

∵BD=DG，

∴BG=2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM=30°，

∴BD=2DM．

设DM=a，则BD=2a，

DM=a，

∴BG=2a，

∴，

∴BG=BD，

∴BF+BE=BG=BD；

②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，

Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，

∴AN=1，BN=，

∴BD=2BN=2，

∵DC∥BE，

∴，

∵CM+BM=2，

∴BM=，

Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，

∴BP=3，

由旋转得：BD=BF，

∴BF=2BP=6，

∴GM=BG-BM=6+1-=．