Question

4．已知⊙O为矩形ABCD的外接圆，⊙O的半径为r，将劣弧沿弦AB翻折交AC于点E，连接BE．
（1）如图1，若点E与圆心O重合，AB=2$\sqrt{3}$，请直接写出r=2，此时△BCE的形状为等边三角形；
（2）如图2，若点E与圆心O不重合，∠BAC=35°，求∠ABE的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点O作OF⊥AB于F，由垂径定理得到AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，根据翻折后点E与圆心O重合，得到OF=$\frac{1}{2}$r，然后根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，连接BE，由AC是直径，得到∠ABC=90°，于是得到∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°，根据翻折的性质得，$\widehat{AB}$=$\widehat{AEB}$，根据圆周角定理得到∠ACB=∠BAC+∠ABE=∠BEC，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，过点O作OF⊥AB于F，
则AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵翻折后点E与圆心O重合，
∴OF=$\frac{1}{2}$r，
在Rt△AOE中，AO²=AF²+OF²，
即r²=（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$r）²，
解得r=2，
∵OF=$\frac{1}{2}$AO，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴△BCE是等边三角形；
故答案为：2，等边三角形；

（2）如图2，连接BE，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°，
根据翻折的性质得，$\widehat{AB}$=$\widehat{AEB}$，
∴∠ACB=∠BAC+∠ABE=∠BEC，
∴∠ACB=∠BEC=55°，
∴∠ABE=90°-（180°-∠ACB-∠BEC）=20°．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．