Question

【题目】如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．

（1）求直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．
（3）求△ABE面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上，

∴A（3，0），

∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a= ，

∴抛物线解析式为y= （x﹣1）2﹣2= x2﹣x﹣ ，当x=0时可得y=﹣ ，

∴B（0，﹣ ），

设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得 ，解得 ，

∴y= x﹣

（2）

解：∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴，

∴点E的横坐标为x，

∵点E在抛物线上，

∴E点的坐标为（x， x2﹣x﹣ ）

（3）

解：∵点P为线段AB上的一点，

∴P（x， x﹣ ），则E（x， x2﹣x﹣ ），

∴PE= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，

由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3﹣x，

∴S△ABE= PEx+ PE（3﹣x）= img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/07/19/20/4a6d7aa9/SYS201707192035174095939404_DA/SYS201707192035174095939404_DA.001.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> PE（x+3﹣x）= PE= （﹣ x2+ x）=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当x= 时，S△ABE有最大值，最大值为 ，

∴△ABE面积的最大值为

【解析】（1）由条件可先求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB解析式；（2）由条件可知P、E的横坐标相同，又点E在抛物线上，则可表示出E点坐标；（3）由（2）可用x表示出PE的长，则可用x表示出△ABE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．