【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
的三个顶点
、
、
．抛物线
过
、
两点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点
从点出发．沿线段
向终点
运动，同时点
从点出发，沿线段
向终点
运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为
秒．过点作
交
于点
．
①过点作
于点
，交抛物线于点
．当为何值时，线段
最长？
②连接
．在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得
是等腰三角形？请直接写出相应的值．
【答案】（1）
，
；（2）①当
时，线段
最长为2；②共有三个时刻，
，
，
【解析】
（1）由于四边形
为矩形，所以
点与
点纵坐标相同，点与
点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点
的横坐标表达式即为点
的横坐标表达式．代入二次函数解析式，求出纵坐标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答；
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分
，
，
三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．
（1）因为点的横坐标为4，点的纵坐标为8，
轴，
轴
所以点的坐标为
将、
两点坐标分别代入
得
解得
，
故抛物线的解析式为；
（2）①在
和
中，
，即
∴
，
∴点的坐标为
∴点的纵坐标为
∴
∵
∴当时，线段最长为2；
②依题意，共有三个时刻：
（①）当时
因为
，
，
所以根据两点间距离公式，得
整理得
解得
或
（此时、
重合，不能构成三角形，舍去）
（②）当时
因为，，
所以根据两点间距离公式，得
整理得
解得
，
（此时
不在矩形的边上，舍去）
（③）当时
因为，，
所以根据两点间距离公式，得
解得
（此时、重合，不能构成三角形，舍去）或
综上，，，．
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【题目】如图，已知反比例函数y＝
的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
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【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．
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【题目】如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC．
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
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【题目】如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
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【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为_____．
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