Question

已知过P（0，1）的直线与y=x²交于A、B两点，S_△AOB=3

2

．求直线AB的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：计算题

分析：设直线AB的解析式为y=kx+1，由两解析式组成方程组后消去y得到关于x的方程x²-kx-1=0，解得x₁=

k+ k2+4

2

，x₂=

k- k2+4

2

，于是得到两交点的横坐标，再利用S_△AOB=S_△OAP+S_△OBP=3

2

可得到关于k的方程，然后解方程即可．

解答：解：如图，
设直线AB的解析式为y=kx+1，

y=x2 y=kx+1

，消去y得到x²-kx-1=0，
所以x₁=

k+ k2+4

2

，x₂=

k- k2+4

2

，
即点A、B的横坐标分别为

k+ k2+4

2

和

k- k2+4

2

，
所以S_△AOB=S_△OAP+S_△OBP=3

2

，
即

1

2

•（-

k- k2+4

2

）•1+

1

2

•

k+ k2+4

2

•1=3

2

，
解得k=±2

71

，
所以直线AB的解析式为y=2

71

x+1或y=-2

71

x+1．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．