Question

阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的长．
小明的思路：
如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE=

 

，AB=

 

；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．
①如图3，当3∠A+2∠B=180°时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程） 
②当3∠A+4∠B=180°，b=2，c=3时，可得a=

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
（2）解题思路同（1）．

解答：解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是中垂线，
故AB=BD，∠A=∠D．
∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，
∴∠BCA=2∠A，
又∵∠BCA=∠D+∠CBD，
∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A，则∠CBD=∠A，
∴DC=BC=4，
∴AD=DC+AC=4+5=9，
∴AE=

1

2

AD=4.5，
∴EC=

1

2

AD-CD=4.5-4=0.5．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：
BC²-CE²=AB²-AE²，即4²-0.5²=AB²-4.5²，
解得 AB=6．
故答案是：4.5；6；

（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，
故AB=BD，∠A=∠D．
①∵3∠A+2∠B=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，
∴2∠A+∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠ABC=∠DBC，BD=AB=c，
即∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC=c，
设EC=x，
∴DE=AE=

b+c

2

∴EC=AE-AC=

b+c

2

-b=

c-b

2

，
∵BE²=BC²-EC²，BE²=AB²-AE²，
∴a²-（

c-b

2

）²=c²-（

b+c

2

）²，
解得，b=

c2-a2

c

．
②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，
故AB=BD=3，∠A=∠D．
∵3∠A+4∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，
∴2∠A+3∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠D+∠DBC，
∴2∠A+3∠ABC=∠D+∠DBC，
∵∠A=∠D，
∴∠A+3∠ABC=∠DBC，
即∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC=3，
∴AD=DC+AC=3+2=5，
∴EC=

1

2

AD-AC=2.5-2=0.5．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：
BC²-CE²=AB²-AE²，即a²-0.5²=3²-2.5²，
解得 a=

15

3

．
故答案是：

15

3

．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题过程中注意等腰三角形“三线合一”性质的利用．解题的难点是通过作辅助线“作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD”构建等腰三角形和直角三角形，便于利用勾股定理求相关线段的长度．