Question

1．设二次函数y₁=a（x-m）（x-n）（a≠0，m≠n）的图象与一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象交于点（m，0），若函数y=y₂+y₁的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

• A． a（m-n）=d
• B． a（n-m）=d
• C． a（m-n）²=d
• D． a（m+n）²=d

Answer 1

分析 首先根据一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（m，0），可得y₂=d（x-m），y=y₁+y₂=（x-m）[a（x-n）+d]；然后根据函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y₁+y₂是二次函数，且它的顶点在x轴上，即y=y₁+y₂=a（x-m）²，推得a（x-n）+d=a（x-m），令x=n，即可判断出a（n-m）=d．

解答 解：∵一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（m，0），
∴dm+e=0，
∴y₂=d（x-m），
∴y=y₁+y₂=a（x-m）（x-n）+d（x-m）=（x-m）[a（x-n）+d]
∵函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，
∴函数y=y₁+y₂是二次函数，且它的顶点在x轴上，
即y=y₁+y₂=a（x-m）2，
∴a（x-n）+d=a（x-m），
令x=n，可得：a（n-n）+d=a（n-m），
∴a（n-m）=d．
故选：B．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y₁+y₂是二次函数，且y=y₁+y₂=$a（x-{x}_{1}）^{2}$．