Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，AB=8，BO=x，⊙O的半径为2，问当x在什么范围内取值时，线段AB与⊙O相交、线切、相离？

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，根据含30°直角三角形的性质得出OD=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{2}$x；
（1）若圆O与AB相离，则有OD大于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围；
（2）若圆O与AB相切，则有OD=r，求出x的值即可；
（3）若圆O与AB相交，则有OD小于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．

解答 解：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵∠A=90°，∠C=60°，
∴∠B=30°，
∵BO=x，
∴OD=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{2}$x，
（1）若圆O与AB相离，则有OD大于r，即$\frac{1}{2}$x＞2，解得：x＞4；
（2）若圆O与AB相切，则有OD等于r，即$\frac{1}{2}$x=2，解得：x=4；
（3）若圆O与AB相交，则有OD小于r，即0＜$\frac{1}{2}$x＜2，解得：0＜x＜4；
综上可知：当x＞4时，AB与⊙O相离；x=4时，AB与⊙O相切；0＜x＜4时，AB与⊙O相交．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系、含30°直角三角形的性质；熟记直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断是解题的关键．