Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD=2EC；

（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定义解答即可；

②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE，再利用AAS证明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性质解答即可；

（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，

∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②延长CE交BA的延长线于点G，如图1：

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD与△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）结论：BE﹣CE=2AF．

过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2：

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH与△ACE中，

，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．