Question

4．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE，FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．若AE=4，则FC=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，根据等腰直角三角形的性质可得AH=EH=FH，利用“角边角”证明△APH和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EHB=45°，然后求出∠AHB=∠FHB，再利用“边角边”证明△ABH和△FBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BF，再根据全等三角形对应边相等求出BE=DF，全等三角形对应角相等求出∠BAH=∠BFE，然后求出∠BFE=∠ADF，根据等角的余角相等求出∠EBF=∠FDC，再利用“边角边”证明△BEF和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得FC=EF．

解答 解：连接FC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵FA⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BPE=∠ADF+∠APD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，BE=DF，
∵FA⊥AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{2}$，
过点A作AH⊥EF于H，连接BH，
则AH=EH=FH，
∵P为AB的中点，
∴AP=BP，
在△APH和△BPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APH=∠BPE}\\{∠AHP=∠BEP=90°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△BPE（AAS），
∴BE=AH，
∴BE=EH，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠EHB=45°，
∴∠AHB=∠FHB=135°，
在△ABH和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=FH}\\{∠AHB=∠FHB}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△FBH（SAS），
∴AB=BF，∠BAH=∠BFH，
∵AB=CD，
∴BF=CD，
∵∠BFH=∠BAH=∠PBE=∠ADF，
∴∠EBF=∠DAH=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=DF}\\{∠EBF=∠FDC}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴FC=EF=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形并多次证明三角形全等．