Question

14．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2$\sqrt{3}$．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=$\sqrt{7}$，求图中阴影部分的面积；
（3）若$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{3}$，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2$\sqrt{3}$，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{3}$PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_△BDF-S_弓形BD=S_△BDF-（S_扇形BOD-S_△BOD）进行计算；
（3）连结CD，如图2，由$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{3}$可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$得到CD=BD=2$\sqrt{3}$，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16-4y=xy，则16-4y=4，然后解方程易得BF=3．

解答 证明：（1）连结OD，如图1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，OB=BD=2$\sqrt{3}$，
∴∠BDF=30°，
∵BC∥DF，
∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{3}$PD=3，
在Rt△DEP中，∵PD=$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{7}$，
∴PE=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵OP⊥BC，
∴BP=CP=3，
∴CE=3-2=1，
易证得△BDE∽△ACE，
∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：$\sqrt{7}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
∵BE∥DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{5}{DF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{7}}{7}}{\frac{12\sqrt{5}}{7}}$，解得DF=12，
在Rt△BDH中，BH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_△BDF-S_弓形BD
=S_△BDF-（S_扇形BOD-S_△BOD）
=$\frac{1}{2}$•12•$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2$\sqrt{3}$）²
=9$\sqrt{3}$-2π；
（3）连结CD，如图2，由$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{3}$可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴CD=BD=2$\sqrt{3}$，
∵∠F=∠ABC=∠ADC，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，
∴△BFD∽△CDA，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BF}{CD}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$=$\frac{y}{2\sqrt{3}}$，
∴xy=4，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，
而∠DFB=∠AFD，
∴△FDB∽△FAD，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$，即$\frac{8-y}{y+4x}$=$\frac{y}{8-y}$，
整理得16-4y=xy，
∴16-4y=4，解得y=3，
即BF的长为3．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．