【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点,∠ADE=∠B=a,DE交AC于点E,下列结论:①AD2=AE.AB;②1.8≤AE<5;⑤当AD=时,△ABD≌△DCE;④△DCE为直角三角形,BD为4或6.25.其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论序号都填上)
【答案】①②④.
【解析】
①易证△ABD∽△ADF,结论正确;
②由①结论可得:AE=,再确定AD的范围为:3≤AD<5,即可证明结论正确;
③分两种情况:当BD<4时,可证明结论正确,当BD>4时,结论不成立;故③错误;
④△DCE为直角三角形,可分两种情况:∠CDE=90°或∠CED=90°,分别讨论即可.
解:如图,在线段DE上取点F,使AF=AE,连接AF,
则∠AFE=∠AEF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠ADE=∠B=a,
∴∠C=∠ADE=a,
∵∠AFE=∠DAF+∠ADE,∠AEF=∠C+∠CDE,
∴∠DAF=∠CDE,
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,
∴∠CDE=∠BAD,
∴∠DAF=∠BAD,
∴△ABD∽△ADF
∴,即AD2=ABAF
∴AD2=ABAE,
故①正确;
由①可知:,
当AD⊥BC时,由勾股定理可得:
,
∴,
∴,即,故②正确;
如图2,作AH⊥BC于H,
∵AB=AC=5,
∴BH=CH=BC=4,
∴,
∵AD=AD′=,
∴DH=D′H=,
∴BD=3或BD′=5,CD=5或CD′=3,
∵∠B=∠C
∴△ABD≌△DCE(SAS),△ABD′与△D′CE不是全等形
故③不正确;
如图3,AD⊥BC,DE⊥AC,
∴∠ADE+∠DAE=∠C+∠DAE=90°,
∴∠ADE=∠C=∠B,
∴BD=4;
如图4,DE⊥BC于D,AH⊥BC于H,
∵∠ADE=∠C,
∴∠ADH=∠CAH,
∴△ADH∽△CAH,
∴,即,
∴DH=,
∴BD=BH+DH=4+==6.25,
故④正确;
综上所述,正确的结论为:①②④;
故答案为:①②④.
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【题目】已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF;其中正确的是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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【题目】已知在平面直角坐标系中有三点A(﹣2,1)、B(3,1)、C(2,3).请回答如下问题:
(1)在坐标系内描出点A、B、C的位置,并求△ABC的面积;
(2)在平面直角坐标系中画出△A′B′C′,使它与△ABC关于x轴对称,并写出△A′B′C′三顶点的坐标;
(3)若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写出这点在△A′B′C′内部的对应点M′的坐标.
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【题目】如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;
(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.
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【题目】如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC和CD于点P,Q.
(1)求证:△ABP∽△DQR;
(2)求的值.
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