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【题目】如图,在△ABC中,ABAC5BC8,点D是边BC上(不与BC重合)一动点,∠ADE=∠BaDEAC于点E,下列结论:①AD2AEAB;②1.8≤AE5;⑤当AD时,△ABD≌△DCE;④△DCE为直角三角形,BD46.25.其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论序号都填上)

【答案】①②④.

【解析】

①易证ABD∽△ADF,结论正确;

②由①结论可得:AE=,再确定AD的范围为:3≤AD5,即可证明结论正确;

③分两种情况:当BD4时,可证明结论正确,当BD4时,结论不成立;故③错误;

④△DCE为直角三角形,可分两种情况:∠CDE=90°或∠CED=90°,分别讨论即可.

解:如图,在线段DE上取点F,使AF=AE,连接AF

则∠AFE=AEF

AB=AC

∴∠B=C

∵∠ADE=B=a

∴∠C=ADE=a

∵∠AFE=DAF+ADE,∠AEF=C+CDE

∴∠DAF=CDE

∵∠ADE+CDE=B+BAD

∴∠CDE=BAD

∴∠DAF=BAD

∴△ABD∽△ADF

,即AD2=ABAF

AD2=ABAE

故①正确;

由①可知:

ADBC时,由勾股定理可得:

,即,故②正确;

如图2,作AHBCH

AB=AC=5

BH=CH=BC=4

AD=AD′=

DH=D′H=

BD=3BD′=5CD=5CD′=3

∵∠B=C

∴△ABD≌△DCESAS),ABDDCE不是全等形

故③不正确;

如图3ADBCDEAC

∴∠ADE+DAE=C+DAE=90°

∴∠ADE=C=B

BD=4

如图4DEBCDAHBCH

∵∠ADE=C

∴∠ADH=CAH

∴△ADH∽△CAH

,即

DH=

BD=BH+DH=4+==6.25

故④正确;

综上所述,正确的结论为:①②④;

故答案为:①②④.

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