Question

【题目】如图1，直线y=x+c与x轴交于点A(-3，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2所示，M是线段0A上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若以C、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求四边形MNCO的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）6或

【解析】

（1）将A代入y=x+c求出c，从而求出C点坐标，再将A、C点代入y=-x2+bx+c算出解析式即可；

（2）△APM是直角三角形且，根据C、P、N为顶点的三角形与△APM相似分为或进行分类讨论求出M、N点的坐标再求算四边形MNCO的面积即可．

解：（1）∵直线y=x+c与x轴交于点A(-3，0)，将A(-3，0)代入得：c=3

∴直线解析式为：y=x+3

∴C（0,3）

将A(-3，0)，C（0,3）代入y=-x2+bx+c得：

解得：

∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

（2）设

由题可知：是直角三角形且，要使C、P、N为顶点的三角形与△APM相似

①当，如图：

此时C、N在一条直线上

∴

∴四边形MNCO的面积=

②时，如图：

得出： 解得：

∴

∴四边形MNCO的面积=

综上所述：若以C、P、N为顶点的三角形与△APM相，四边形MNCO的面积为6或．