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【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点Px轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点Px轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;

(2)已知点F(0,),当点Px轴上运动时,试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?

(3)点P在线段AB运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)m=﹣1m=3时,四边形DMQF是平行四边形;(3)点Q的坐标为(3,2)或(﹣1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.

【解析】

(1)待定系数法求解可得;
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2,则Q(m,-m2+m+2)、M(m,m-2),由QMDF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程,解之可得;
(3)易知∠ODB=QMB,故分①∠DOB=MBQ=90°,利用DOB∽△MBQ,再证MBQ∽△BPQ,即,解之即可得此时m的值;②∠BQM=90°,此时点Q与点A重合,BOD∽△BQM′,易得点Q坐标.

1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),
将点C(0,2)代入,得:-4a=2,
解得:a=-
则抛物线解析式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2;
(2)由题意知点D坐标为(0,-2),
设直线BD解析式为y=kx+b,
B(4,0)、D(0,-2)代入,得:

,解得:
∴直线BD解析式为y=x-2,
QMx轴,P(m,0),
Q(m,--m2+m+2)、M(m,m-2),
QM=-m2+m+2-(m-2)=-m2+m+4,
F(0,)、D(0,-2),
DF=
QMDF,
∴当-m2+m+4=时,四边形DMQF是平行四边形,
解得:m=-1(舍)或m=3,
m=3时,四边形DMQF是平行四边形;
(3)如图所示:

QMDF,
∴∠ODB=QMB,
分以下两种情况:
①当∠DOB=MBQ=90°时,DOB∽△MBQ,

∵∠MBQ=90°,
∴∠MBP+PBQ=90°,
∵∠MPB=BPQ=90°,
∴∠MBP+BMP=90°,
∴∠BMP=PBQ,
∴△MBQ∽△BPQ,
,即
解得:m1=3、m2=4,
m=4时,点P、Q、M均与点B重合,不能构成三角形,舍去,
m=3,点Q的坐标为(3,2);
②当∠BQM=90°时,此时点Q与点A重合,BOD∽△BQM′,
此时m=-1,点Q的坐标为(-1,0);
综上,点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似.

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