【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)已知点F(0,),当点P在x轴上运动时,试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?
(3)点P在线段AB运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)m=﹣1或m=3时,四边形DMQF是平行四边形;(3)点Q的坐标为(3,2)或(﹣1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.
【解析】
(1)待定系数法求解可得;
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2,则Q(m,-m2+m+2)、M(m,m-2),由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程,解之可得;
(3)易知∠ODB=∠QMB,故分①∠DOB=∠MBQ=90°,利用△DOB∽△MBQ得,再证△MBQ∽△BPQ得,即,解之即可得此时m的值;②∠BQM=90°,此时点Q与点A重合,△BOD∽△BQM′,易得点Q坐标.
(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),
将点C(0,2)代入,得:-4a=2,
解得:a=-,
则抛物线解析式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2;
(2)由题意知点D坐标为(0,-2),
设直线BD解析式为y=kx+b,
将B(4,0)、D(0,-2)代入,得:
,解得:,
∴直线BD解析式为y=x-2,
∵QM⊥x轴,P(m,0),
∴Q(m,--m2+m+2)、M(m,m-2),
则QM=-m2+m+2-(m-2)=-m2+m+4,
∵F(0,)、D(0,-2),
∴DF=,
∵QM∥DF,
∴当-m2+m+4=时,四边形DMQF是平行四边形,
解得:m=-1(舍)或m=3,
即m=3时,四边形DMQF是平行四边形;
(3)如图所示:
∵QM∥DF,
∴∠ODB=∠QMB,
分以下两种情况:
①当∠DOB=∠MBQ=90°时,△DOB∽△MBQ,
则,
∵∠MBQ=90°,
∴∠MBP+∠PBQ=90°,
∵∠MPB=∠BPQ=90°,
∴∠MBP+∠BMP=90°,
∴∠BMP=∠PBQ,
∴△MBQ∽△BPQ,
∴,即,
解得:m1=3、m2=4,
当m=4时,点P、Q、M均与点B重合,不能构成三角形,舍去,
∴m=3,点Q的坐标为(3,2);
②当∠BQM=90°时,此时点Q与点A重合,△BOD∽△BQM′,
此时m=-1,点Q的坐标为(-1,0);
综上,点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.
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【题目】甲,乙两人同时各接受了600个零件的加工任务,甲比乙每分钟加工的数量多,两人同时开始加工,加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工,直到他们完成任务,如图表示甲比乙多加工的零件数量y(个)与加工时间x(分)之间的函数关系,观察图象解决下列问题:
(1)点B的坐标是_____,B点表示的实际意义是_____;
(2)求线段BC对应的函数关系式和D点坐标;
(3)乙在加工的过程中,多少分钟时比甲少加工100个零件?
(4)为了使乙能与甲同时完成任务,现让丙帮乙加工,直到完成.丙每分钟能加工3个零件,并把丙加工的零件数记在乙的名下,问丙应在第多少分钟时开始帮助乙?并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象.
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【题目】问题探究:如图1,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①BE、CF与EF之间的关系为:BE+CF EF;(填“>”、“=”或“<”)
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明.
问题解决:如图2,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=130°,以D为顶点作∠EDF=65°,∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.
(1)当AC=BC时,如图1,分别过点A和B作AD⊥直线l于点D,BE⊥直线l于点 E.△ACD与△CBE是否全等,并说明理由;
(2)当AC=9cm,BC=6cm时,如图2,点B与点F关于直线l对称,连接BF、CF,点M在AC上,点N是CF上一点,分别过点M、N作MD⊥直线l于点D,NE⊥直线l于点E,点M从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C,点N从点F出发,以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动,终点为F,点M、N同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为t秒.
①当△CMN为等腰直角三角形时,求t的值;
②当△MDC与△CEN全等时,求t的值.
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【题目】某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
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【题目】如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,AE的中点,且S△ABC=4cm2,则阴影部分面积S=( )cm2.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
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