Question

【题目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．

（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；

（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．

①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；

②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACD与△CBE全等，理由见解析；（2）①当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②当t＝秒或秒或秒时，△MDC与△CEN全等．

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE;

（2）①分点N沿C→B路径运动和点N沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；②分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．

（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：

∵AD⊥直线l，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△ACD和△CBE中， ，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，

则CM＝8﹣t，

由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，

∴CN＝6﹣3t，

点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，

当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，

解得，t＝，

当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；

②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，

∴∠NCE＝∠CMD，

∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，

当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，

解得，t＝ （不合题意），

当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，

解得，t＝，

当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，

解得，t＝ ，

综上所述，当t＝秒或秒或秒时，△MDC与△CEN全等．